有限数学示例

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)) - \log_{b} (20)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

乘以 $\frac{2}{3} (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25))$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

组合 $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3} \log_{b} (25) - \log_{b} (20)$

解题步骤 1.1.1.2

组合 $\frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3}$ 和 $\log_{b} (25)$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2 \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 1.1.2

将 $2$ 移到 $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ 的左侧。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要将 $64$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2.1.2

组合 $64$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2.1.3

在公分母上合并分子。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2.1.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $64$ 乘以 $2$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{128 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2.1.4.2

将 $128$ 和 $1$ 相加。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{129}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 2.1.5.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{b} (\frac{129}{2})$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} ({(\frac{129}{2})}^{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2.1.5.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.5.2.1

对 $\frac{129}{2}$ 运用乘积法则。

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{129^{2}}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2.1.5.2.2

对 $129$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 2.1.5.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

解题步骤 3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{b} (x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} + \log_{b} (20) = 0$

解题步骤 4

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{b} (x \cdot 20) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

解题步骤 5

将 $20$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log_{b} (20 x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

解题步骤 6

在等式两边都加上 $\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ 。

$\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$

解题步骤 7

使用对数的定义将 $\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}} = 20 x$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ 。

$20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$

解题步骤 8.2

将 $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ 中的每一项除以 $20$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ 中的每一项都除以 $20$ 。

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

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